原付免許の初回更新講習（120分）を受けた後に普通自動車免許を取得しようと思い

原付免許の初回更新講習（120分）を受けた後に普通自動車免許を取得しようと思います。この場合普通自動車免許取得から3年後にもう一度初回更新講習（120分）を受けなければいけないのですか？

初回運転者講習にはなりません。
原付更新後に普通免許証を併記すれば、免許証取得から5年以上過ぎますから、違反をしてなけりゃ、次の更新は優良運転者講習(30分)になります。

免許証所有歴は一番最初に取得した免許から数えます。（うっかり失効とかで切れたら、復活させてからの数えな押しになるけど）
原付免許取得時から数えるので、次の更新は免許証所有歴５年を満足しているはずです。
無事故無違反ならゴールド（優良運転者講習３０分）が狙えます。

そうでしょうね、
免許は1つですが講習の内容は違いますから

普通自動車免許を取得した場合、初回更新講習は普通免許取得から3年後に受ける必要があります。原付免許の初回更新講習を受けたとしても、普通自動車免許取得後の初回更新講習は別途必要です。無事故無違反であれば、次回の更新時にゴールド免許になる可能性もあります。

原付免許の初回更新講習を受けた後に普通自動車免許を取得した場合、普通自動車免許の有効期限から3年後に普通自動車免許の更新講習を受ける必要があります。
・原付免許の初回更新講習と普通自動車免許の更新講習は別物です。
・普通自動車免許を取得すると、その免許の有効期限から3年後に更新講習を受けなければなりません。
・原付免許の初回更新講習を受けたことは、普通自動車免許の更新講習の時期に影響しません。
つまり、原付免許の初回更新講習を受けた後に普通自動車免許を取得した場合でも、普通自動車免許取得から3年後に普通自動車免許の更新講習を受ける必要があります。