ＭＴ車の合宿免許で１４日で卒業って可能なんでしょうか？また認可されていない

ＭＴ車の合宿免許で１４日で卒業って可能なんでしょうか？
また
認可されていないところで受けるとどうなるんですか？

自動車学校職員です。
ＭＴでは最短16日でＡＴでは14日となっている所が多いでしょうね。
計算方法は技能教習の教習時限数から算出します。
教習時限数は１段階１５時限、２段階１９時限で最後卒検ですが、公安委員会が決めたルールにより１段階１日２時限まで、２段階は連続しなければ３時限までと決められています。もし不正に超えたのならばその時間は無効とされてしまいますし処分もされてしまいますので学校側もそこまでして短くしようとはしません。（年に１回警察が書類をチェックしに来ます）
そこから計算すると１段階（１５時間÷２時限＝７日あまり１時限←この１時限は次の日なので８日間）終了後次の日に仮免試験受験後すぐに２段階（１９時限÷３＝６日あまり1時限なので７日間）最後に卒検ですね。
1段階８日間＋２段階７日間＋卒検１日で１６日間です。
これ以上はどうやっても短くできません。
認可されていないところ（未指定といいます）では卒業後、免許センターにて試験を受ける場合技能試験と学科試験を両方受験しなければなりません。
認可（指定校）では卒業後技能試験が免除になるので、免許センターにて学科試験だけ受験すればいいのです。
細かいこと言えば適性試験（視力や聴力など）もありますが・・・
合宿免許では指定校しか聞いたことがないので、すべて指定校では？

まず、「合宿教習卒業＝免許取得」と勘違いしていませんか？
通い、合宿に関わらず、公認の教習所を卒業することによって、各公安委員会の行う免許試験の内、
「実技試験が免除される」という資格を得るものです。
合宿教習を卒業した後、公安委員会の学科試験を受けることによって初めて運転免許が取得できますのでお間違いなく。
認可されていない＝非公認の場合、教習所は単なる練習場ですから、
学科試験は勿論、技能試験も受ける必要があります。

合宿でのＭＴ取得日数はわかりません。14日だと短すぎる気もします。

無認可の教習所で受けた場合ですが卒業後に、各都道府県の運転免許センターで学科試験と、実技試験が行われます。免許センターの実技試験は、1発合格はまずあり得ません。かなり厳しくてなかなか合格出来ないと言われています。
普通に公認の教習所で卒検に合格して免許センターでの実技試験免除の方が免許は格段に取得しやすいです。公認教習所で教習を受けることをお薦めします。

ガンガンにやっている所なら可能かと。認可というのは公安委員会の認可なのでしょう。これがない所だと免許を取る試験（都道府県の免許センターで受験します）で学科試験と実地試験を受けなければなりません。公安委員会の認可が下りているところだと、実地試験は免除されます。免許センターの実地試験は教習所の卒業検定の何十倍も厳しいとか…。

１４日はＡＴ限定の場合です。
非公認は試験場で学科と技能の両方に合格しないといけません。
公認の場合は技能試験は免除です。