免許証の更新期間に入ったんですが、更新する前に引っ越しをして住所

免許証の更新期間に入ったんですが、更新する前に引っ越しをして住所が変わった場合はどうなるんでしょうか？
そのまま引っ越し先で更新手続きをすればＯＫですか？

それと免許証の更新をして、その後に引っ越しをして住所が変わった場合は
また数千円はらって免許証の変更をしなくてはいけないんでしょうか？

先に免許更新したら、警察署で新住所が裏に手書きで書かれるだけ。
先に警察署で住所変更したら、更新まで裏に書かれるだけ。
先に住所変更するなら、その時に更新はどうしたらイイのか聞けますよね？

基本、免許センターはその県の住所の免許証しか作れません。
引越し先で更新するのであれば、更新と同時に免許証の住所変更をしないといけません。
住所確認出来る書類を持って行く必要があります。
引越し前に更新して、引越し先の県で住所変更する場合は、免許証と住所確認書類を持参し免許センターか警察署の交通課で住所変更の手続きをします。手数料はかかりません。
この場合、免許証が新しくなるのではなく、裏書に新住所が記載される形になります。（県によっては警察署でやってないかもしれません。受付時間なども確認したほうが良いかも。）

＜更新前に住所が変わった場合＞
新住所の都道府県の免許センターで更新が可能です。更新と同時に住所変更が行えますので、住民票を持参して行ってください。
＜更新後に住所が変わった場合＞
新住所の都道府県の免許センターか警察署で住所変更が可能です。更新は終わっていますので、新住所は免許証の裏面に書かれるだけになります。
費用はかかりません。

期間が近いなら、更新と住所変更を同時にやってしまえば良いでしょう。
引越し先の警察なり免許センターなりに問い合わせ。
住所変更自体が手間で無いなら先に現住所で更新してから引越し先で住所変更と別々にやっても何ですが、地域によっては住所変更の為だけに先方の控用の証明写真が入り用だったりして、それはそれで面倒臭いし、新住所が裏書きでは見た目が悪いと感じる人も居るかもだから。

更新後に住所変更をすると、地域の警察署でも管轄の免許センターでも免許証の裏に新住所が手書きで書き込まれます。貴方がゴールドなら格好悪い裏書き免許証を５年間使わなければ為りません。更新前に住所変更しその住民票を持って、管轄の免許センターで通常の更新手続きをすれば新住所で裏書きの無い綺麗な免許証が交付されます。

更新する前に転居なら
転居した時に住所の変更（無料）をするか、更新と同時にするかです。
更新後の転居なら、更新時に住所の変更はできないので、更新後に改めて住所の変更手続き（無料）を行います。
住所の変更のみは裏書きだけですので無料でできますが裏書きになるのでそれを数年間所持しなければならない点を考えると更新時に両方した方が良いと思います。機能としてはどっちも同じですが。