原付の免許更新（初回）の期間内に普通車の免許を取得する場合、更新はしなく

原付の免許更新（初回）の期間内に普通車の免許を取得する場合、更新はしなくてもいいのでしょうか。

しなくていいです。
普通免許取った日から3回目の誕生日+1ヶ月まで有効の免許証になります。
その有効期限が切れる前2ヶ月間で次の更新してください

運転免許は一人に一枚なので、
新たに免許項目が増えれば更新期間は延長されます。