免許証を無くしてしまい、再発行をしたいです。そこで質問なので

免許証を無くしてしまい、再発行をしたいです。
そこで質問なのですが、免許を取った市の免許センターでないと受付はしてくれないのでしょうか？
現在、隣の市に住んでいて住民票も移していない状態です。

同じ県内であればどの免許センターでもOKです。
もし住民票の住所が実際の居所と違う県ならば、住民票の県の免許センターになります。
だとすれば、この機会に住民票を移すことをお勧めします。その後は新住所の住民票を持って、新住所を管轄する免許センターで再発行とともに住所変更ができます。

運転免許は、基本的に各都道府県(の公安委員会)が発行していますので、手続き可能な場所などは都道府県ごとに制度が異なります。お住まいを明かしたくないのであれば、ご自分で警察に問い合わせるか、お住まいの地域の警察公式サイトで情報を確認されるのが確実です。
一般論としては、免許試験を行っている試験場のみ(複数の試験場がある場合はそのどこに行っても構わない)、もしくは最寄りの警察署でも受け付けるがその場合は後日公布、という扱いが多いでしょう。

私は警察署で再発行してもらいました。
身分証明できるものと、免許用に証明写真が要ります。

免許センターは都道府県単位です。隣の市が住民票の県と違う場合住民票の県の免許センターに行くことになります。