新居に引っ越すにあたり、住民票や本籍を変更する場合、いつから変更する

新居に引っ越すにあたり、住民票や本籍を変更する場合、いつから変更する事が出来るのでしょうか？６月に引渡しで５月末に車の免許の更新があり、新しい住所で免許の更新届けを考えています。

引っ越し先が市町村外という前提でお話しします。
住所の変更は、実際に転居した日です。
手続きとしては、今お住まいの役所に転出届をだし、引越が済んだら２週間以内に転入届を出してください。転入届と同時に、住民票も発行できるので、これで免許の手続きが行えます。
本籍の変更はいつでも出来ます。新居の住所が分かっていてそこを本籍とするなら、今すぐにでも可能です。
免許更新との関係ですが、５月末とは誕生日のことでしょうか。誕生日の1ヶ月後まで更新手続きが出来ますので、引越の日付より後に更新した方が、後の住所変更の手続きが不要なため、調整可能なら調整しましょう。
※引っ越し先が同一市町村内なら、引っ越した後２週間以内に「転居届」を出してください。