免許証を紛失したので近くの警察署に行って紛失届を出しに行こうと思って

免許証を紛失したので近くの警察署に行って紛失届を出しに行こうと思っています。その後免許更新センターに行こうと思っているのですが、
警察署に行った次の日に免許更新センターに行っても大丈夫でしょうか？

紛失届と再交付は違う手続きですのでまったく問題ありません。
以下他サイトより抜粋
運転免許証の再交付（再発行）は、

・運転免許試験場
・運転免許センター
・警察署(東京での再交付手続きは運転免許試験場のみで行っています)

で申請手続きを行うこととなります。

また、「運転免許試験場・運転免許センター」で手続を行えば原則、即日交付ですが、警察署で手続きを行った場合は後日交付となります。

※警視庁のように運転免許センターや警察署では再交付の手続きを受け付けていない場合もあります。

※運転免許証の住所地が東京であっても大阪などに引越しをしていて、新しく発行してもらう運転免許の住所を大阪にするのであれば、大阪の運転免許センター等で再交付手続きを行う事となります。
運転免許証の再交付（再発行）に伴う申請手数料（費用）は以下の通りとなっていますが、IC免許証の場合は＋450円となり、「3,650円」となっています。