埼玉県在住です！地元が福島県で運転免許更新のハガキが届いたのですが、埼玉県

埼玉県在住です！
地元が福島県で運転免許更新のハガキが届いたのですが、埼玉県で更新といのは不可能でしょうか？

私も、免許更新の時期で県公安委員会よりハガキが届きました。そこには、県外での更新手続きは『否』と記されています。
ただし、氏名・本（国）籍・住所に変更がある方は、（１）氏名、本（国）籍に変更がある方は、『本籍等の記載された住民票１通』（提出）、（２）住所のみ変更のある方は、『住民票、公共料金の領収書・請求書等、申請者の住所と氏名が確認できる書類いずれか１通』（提示）とあります。
上記から、住民票を移してなければ、不可能に思われます。
ただ、もしあなたが優良運転者の場合は特典があります。「県外に住所のある方は、当県の公安委員会を経由して更新の申請手続きができます。（以下「経由申請」といいます。）この経由申請を行うには、優良運転者の方（継続して運転免許を受けていた期間が５年以上あり、かつ、過去５年間無事故無違反の方）であることと、誕生日の１か月前から誕生日までの間に手続きをすることが必要です。（注：１ヶ月後が土曜日、日曜日、祝日・休日の場合の有効期間の延長はありません。）
運転免許証を無くされた方、免許停止中の方、運転免許証の記載内容に変更のある方及び視力、聴力以外の身体の状態による条件のある方は、申請できません。」
最善は、ハガキに記載されている公安委員会（運転免許センター）に問い合わせてみては如何でしょうか。

免許証の住所を埼玉に移すなら、講習区分に関係なく更新できます。住民票は福島のままでもかまいません。
埼玉の自宅に届いた消印つきの郵便物（ただし、住民票を移すなら、郵便物よりも埼玉の住民票が確実）を持って、更新場所（わからなければ鴻巣の試験場が確実）に出向き、住所変更と同時に更新ができます。

このような場合「地元」(一般には出身地)は関係ありません。
何処の都道府県で免許を取得したか？
引っ越ししたなら、住所住所変更の届けをしているか？
（この場合の住所は役所の住民票のある住所ではなく、公安に届けている住所のこと)
が重要です。
ハガキは、何処から届きましたか？
これらを、明確にして、再投稿されることをお勧めします。

免許証の住所変更してないですよね？
住所変更をして免許更新すればよろしいのでは？
住民票は移してないのでしょうか？

住所変更と同時か優良でないと無理ですね。

優良運転者でハガキが来た場合は、どこの都道府県でも出来ます。
極端にいうと、1回しか行かない旅行先でも更新手続きが可能です。

蛇足ですが、
車検も全国どこでも継続車検が受けられます。