免許証の各変更 - 住所と名前が変わったのですが、現在の住所の管

免許証の各変更
住所と名前が変わったのですが、現在の住所の管轄にあるセンターか警察署でしか手続きできないのですか？
隣の市のセンター方が近いのですが。。。

また、変更に必要な書類を教えてください。補足都道府県はまたぎません。

新住所地の都道府県内にある免許センター（試験場）あるいは管轄内の警察署でしか手続きできません。
隣の市のセンターというのが住所地の県内なら大丈夫だと思いますが、他都道府県の運転免許センターなら駄目ですね。
住所変更だけなら公共料金の請求書等の郵便物で新住所を証明できるのですが、名前も変更されたとのことなので、
①運転免許証
②本籍地記載の住民票1通、外国人の方は外国人登録証明書、登録原票記載事項証明書など
③印鑑（必要でない場合もあります。）
④申請前6ヶ月以内に撮影した申請用写真1枚（カラー又は白黒、縦3ｃｍ×横2.4ｃｍ）｛これも必要でない場合もあります。｝
新住所地の警察のホームページや電話で③④が必要かどうか確認してください。
免許の住所、氏名変更の手数料は無料ですが、住民票と写真代は有料です。

住所変更は同じ都道府県内ならば、全ての免許センターか警察署で可能です。窓口の開いている平日の8：30～17：00が受付時間になります(免許センターは日曜も可)。
＜持参するもの＞
①運転免許証
②本籍地記載の住民票

都道府県により対応が違います
埼玉ならどこの警察署でもOKです
質問者さんは珍しいですね
苗字は変わってもなかなか名前を変える人は居ないですよね
と、言っても友人に「名前」を変えたのが１人居ますが（笑）
試験場でかなり珍しがられたそうです

管轄外でも可能かは地方で違います。
必要書類は本籍地記載の住民票の写しの提出になります