免許証を紛失してしまいました。横浜から出張先の大宮に行く途中で紛失し

免許証を紛失してしまいました。横浜から出張先の大宮に行く途中で紛失したのだと思われますが、気付いたのが大宮駅降りてからでした。近くの交番に紛失届は出したのですが、現在住んでいるのは横浜です。
質問です。
①横浜でも紛失届は出したほうがいいのでしょうか？
②今月で更新なので再交付と同時に更新手続きをしたいのですが、あいにく月曜日から出張で来週の木曜日しか手続きができません。その間悪用されないか心配ですが、問題ないのでしょうか
教えてください。

①は他の方が回答されているので、②のみアドバイスさせて頂きます。
②免許証紛失の際の悪用で心配なのは、他人がその免許証を偽造して借金をする事ですね。（有効期限を偽造したり。今は誕生日1ヶ月後も期限内ですが・・・。写真部分を偽造したり） もしくは免許証写真と似た風貌の他人が、質問者様に成りすまして借金をするなど・・・
念のために「貸金業協会」へ、紛失の届けを出しておくのはいかがでしょうか？
この「貸金業協会」は、借り入れを申込みに来た人の信用情報（他社での借金の有無等）を調べる機関です。ある程度の看板を出している金融会社の場合は、この機関を通し融資の有無を決める参考にするので、他人が申込みした際、「免許証紛失」の情報の届けがあれば審査は慎重になるはずです。
質問者様が新しい免許証を手にした後も、紛失した免許証が悪用されてしまう可能性はあります。（借り入れの審査をする金融会社の従業員には、警察に紛失届が出ている免許証かどうか分かりませんので）
確か協会は横浜市内にあったと思いますが、直接行っての登録が必要だったかもしれません。ご自身でお調べ下さい・・・
他には「ＣＩＣ」という機関もあります。（やはりクレジット関係の情報機関だったと思いますが）
本人確認書類（免許証）があれば、住民票も取得出来るし、銀行で口座開設も可能です。取引のある銀行へも届けをしておいた方が良いかもしれませんね。

①出す必要はありません
②紛失届を出した日時が記録として残っているので、悪用されても大丈夫です。
しかし、悪用された場合は金銭的損害は免れますが、警察による取り調べ等
かなりめんどくさいですよ。自作自演と勘繰られます。

①警察は全国にネットワークがありますので、どこで発見されても連絡があります。
②紛失届を出した時点で以前の免許証の効力は停止されていますので、悪用の心配はされなくて大丈夫です。
免許番号のの末尾が2の経験者です（汗）。