エンジンオイルが全くない状態で300キロくらい走行しました。車がカクカク振

エンジンオイルが全くない状態で300キロくらい走行しました。車がカクカク振動するのでオートバックス行ってみてもらって気付いた感じです。オイル補充しましたが、これで走行して問題ないでしょうか？
焼き付きとか心配です。

その300kはどこから算出されたんでしょうね、
AUTOBACSが何故そう判断したのか分かりませんが、
とっくにブローしてると思います。
無事なのはそんな事ないって事です。
とは言え、恐らくはピストンリングがダメージを受けていると思います。
その場合オイル上がりが起きているでしょう。
マフラーから白煙が出ているようであればオイル上がりです。
修理には70万とか掛かります、
程度によりますがオイル上がりとはピストンリングで遮られている燃焼室にオイルが上がり燃えてしまう事を言います。
ですのでオイル上がりなら白煙が出ています。
出ているようであれば修理なんて通常しません、
オイルの量をこまめにチェックして減っていたら足す、これをしていれば乗れます。
あまりに早い段階で足さないといけないようであれば、先ずは1段階硬いオイルを入れてみましょう。
それでも改善されないようであればちょっとヤバいです。
参考として1000kで足す、であればまだ行けます。

ご参考までに

ダメージは確実に入ってます。
けど、どれくらいのダメージか。
あとどれくらい走れるかは分からない。

全くオイルが無い状態で300kmは、おそらく走れません。
そもそも、オイルが無ければメーターのところにオイルのマークが点灯すると思います。
点灯していないのでしたら、オイルが、少し、少なかった程度です。
オートバックスの店員は素人ですし、大げさに言ったのでしょうね。
私は午前中に自分でオイル交換して、昼からオートバックスに行き、店員からオイル点検しましょうか?と言うので、見てもらったら「真っ黒ですよ、交換しないと」と言われました。
私は「午前中交換したのに、もう真っ黒なの」と言い、自分でレベルゲージを抜いてゲージをテッシュで拭き取り、これのどこが真っ黒なのか?と問い詰めると店長から「すみませんでした」とのお詫び。
店員がもっていたウエスは、全体が真っ黒で詐欺行為を行ったものでした。

オイルが入ってる今の状態で焼き付くことはほぼない（オイル漏れしてない限り）けどすでにダメージは少なからずあるから今後何かあってもおかしくはない
としか言えないと思う

全く無いのがどれ程なのかにもよります。
ゲージに付いてなくても半分位はありますしね。
それより減った原因の方が心配ですね。

オイルが全く無い状態で300kmも走っていれば、エンジンは駄目になっているでしょうね。

エンジンオイルが全くない状態で300kmも走行されたのは非常に危険な状況です。オイルはエンジン内部の潤滑、冷却、清浄などの重要な役割を担っており、オイル不足状態での走行はエンジン内部に深刻なダメージを与えている可能性が高いです。
現在の状況について：
・カクカク振動が発生していたことは、すでにエンジン内部に何らかの損傷が生じている可能性を示唆しています
・オイルを補充しただけでは、すでに発生した損傷は修復されません
・このまま走行を続けると、エンジンが完全に焼き付いたり、突然故障したりするリスクがあります
推奨される対応：
・すぐに専門の整備工場でエンジンの詳細な点検を受けてください
・オイル内の金属粉の有無や量を調べる「オイル分析」を依頼すると良いでしょう
・エンジン内部の損傷状況によっては、オーバーホールや最悪の場合はエンジン交換が必要になる可能性があります
安全のため、専門家による点検を受けるまでは極力走行を控えることをお勧めします。

エンジンオイルが全くない状態で300キロ走行すると、エンジン内部の潤滑が不十分になり、焼き付きや深刻なダメージのリスクが高まります。オイルを補充した後でも、エンジンの状態が悪化している可能性があるため、専門の整備工場での詳細な点検を強くお勧めします。早期の点検と対処が重要です。