私は平成22年12月24日に自動車の運転免許証を取得し、平成25年10月1日

私は平成22年12月24日に自動車の運転免許証を取得し、平成25年10月1日まで有効だと免許証に記載されています。一年間、無事故無違反でした。
だとすると、免許証の更新は平成25年の誕生日前後１ヶ月に行えば良いのですよね？
私よりも1か2年早く免許証を取得した姉は、一年目で免許証の更新をしたらしいのですが…私は一年間、免許証の更新はしていません。
これは何かの制度が変わったからなのでしょうか？
やはり平成25年までは何もしなくていいのでしょうか？

普通免許が初めての免許だとすれば、1年で更新、ということはあり得ません。
一番短くても2年を過ぎてからのはずです。
理由：「3回目の誕生日」というのが、最初の更新日になっているはずだからです。

1年目に更新、というのがよくわかりませんが、1年過ぎてから例えば新たな免許（普通自動2輪など）を
取得した場合、その時点で、グリーンからブルーに変わるので、
免許取得と更新を同時にやったような錯覚になっている可能性も・・・
あくまで推測ですが・・・

免許証取得１年で更新ってのは有り得ないんですけどね？
最初の有効期限は２年で、次が３年、その次が違反履歴によって３年～５年になりますが。お姉さんの記憶違いだと思います。
免許証の有効期限が誕生日の１ヶ月後の日付になっているハズです。
誕生日の１ヶ月前からその有効期限の日付までに更新すればいいのですよ。
更新までに引っ越ししたとかで、住所が変わったら、最寄の警察署で住所変更をして下さい。違反して免許停止になったりした場合や赤切符で裁判所の出頭の通知等が届かなくなり、更新ハガキも来ないので、更新忘れで違反して無免許とかで摘発されたりしていい事がありませんから。
住所変更には本籍地記載の住民票を持って警察署に行けば免許証の裏に手書きで住所変更の旨の新しい住所が記載されます。

私も確かではありませんが、無事故無違反であれば、ゴールド免許ではありませんか？そのことで、3年に１どではありませんか？

「一年目で免許証の更新をしたらしいのですが」
これが、間違い。