運転免許について質問です。去年の10月に中型二輪の免許を取得したので

運転免許について質問です。
去年の10月に中型二輪の免許を取得したのですが、取得後すぐに他県に引っ越しました。
保険証はすでに住所変更済みなのですが運転免許の住所変更にまだ行けていない状態です。
そこで質問なのですが、現住所の都道府県の役所で変更可能でしょうか？
そして、引っ越ししてから半年以上経過した現在でもペナルティ無しで変更出来ますでしょうか？

回答お願いします。

運転免許証の住所変更については、いつまでに行わなければならないという期限はありません。
というより、住民票の場合は届を出さないと罰則がありますが、変更をしなくても特に罰則等はありません。
ただ、更新のお知らせハガキが旧住所あてに送付されるので、その点は注意が必要です。
（郵便局に転居届をだしてあれば、転送期間は送られては来ますが．．．）
また、現住所の証明としても利用が出来ませんので、やはり変更の手続きは行っておいた方が無難でしょう。
ちなみに住所変更手続を行った場合は、運転免許の裏面に新住所が記載されます（本籍、氏名に変更があった場合も同様）。
運転免許の住所変更手続きは、新住所を管轄する「警察署（運転免許課）・運転免許センター」で手続を行います。

手続きの受付時間は各警察署、運転免許センターによって異なりますが、「平日の8:30～17:00（12:00～13:00は除く）」となっている場合が多いようです。
必要書類としては、同一都道府県内での住所変更の場合
・運転免許証
・新住所を確認できる書類等（住民票・年金手帳・新住所の健康保険証・新住所へ送付された消印付はがき・公共料金の領収証・外国人登録証明書など）
・運転免許証記載事項変更届（警察署・運転免許センターにあります）
・印鑑（認印で可）
が必要です。
また、他の都道府県からの転入による住所変更の場合は上記に加え
・申請前6ヶ月以内に撮影した申請用写真1枚（カラー又は白黒、縦3ｃｍ×横2.4ｃｍ）
が必要になります。
（この写真は申請用の写真ですので、住所変更によって運転免許証の写真が変わるわけではありません。）
都道府県によっては申請用の写真が不要の場合もありますので、手続きを行う前に必ず手続きを行う都道府県の運転免許センター等でご確認ください。

引っ越したあと、すぐに住所変更するべきですが、日数が経過してもペナルティはありません。最悪は、免許証の更新日に変更手続きすることもありますが、その前に事故に遭ったりすると面倒だと聞いたことがあります。
住所変更の手続きは、住民票を出してある町の警察署で行なってくれます。
そのとき、転居したことを証明するために住民票が必要です。
申請書を書き、免許証の裏面に新住所を転記してもらうだけなので、窓口が空いていれば短時間で完了です。
ちなみに、以前に住んでいた町の警察署へ引っ越しの連絡をする必要はありません。書類提出などもありません。

運転免許の住所変更は、確か住民票や印鑑を持って警察署に行くんだったと思います。

住所変更は警察署の窓口または免許センターで出来ます。市役所等他の公共機関では変更できません。
新住所が記載された保険証を持って行ってください。
なお、転居後2週間以内に変更しなければいけませんが、変更が遅れても実際にはペナルティを課されることはまずありません。ただこのまま変更しないでいると更新の葉書が新住所に届かないため、免許更新を忘れて免許が失効してしまうおそれがありますから、お早めにどうぞ。

新しい住所を管轄している警察署に、住民票を持って行ってください

ペナルティーは一切ないです。
運転免許証の住所変更は市役所ではなく、現在の住所地を管轄する免許センター又は警察署での手続きになります。
本籍地の記載してある住民票と免許証をもって行けば大丈夫です。
他県からの転入の場合は写真も必要です。