自動車免許の期限切れ中の交通違反について - 昨年九月が期限だったの

自動車免許の期限切れ中の交通違反について
昨年九月が期限だったのですが、うっかりしていて自動車運転免許の更新を忘れていました。更新期限が切れて一ヵ月位後の11月に交通違反で捕まりました。原付を運転していて、交差点で、赤信号から青信号になる前に見切り発車をしたということです。その時に警官から期限切れを指摘されて気が付きました。聴取を受けて、故意ではなく、うっかり更新忘れということで、違反点数は4点、罰金については後日書類を送ります。とのことでした。次の日に更新手続きは済ませ、今は運転しています。
違反した日から二ヶ月ほど経ちますが、書類はまだ届いていません。警察に問い合わせたところ、もう少し時間がかかるとのことでした。
書類は警察から届くのだと思っていて、その書類に書かれている罰金の額を支払えばいいと思っていましたが、警察からではなく、裁判所から来るのですか？書類が届いたら、裁判所に出向いて裁判を受けないといけないのでしょうか？補足付け加えさせていただきます。見切り発車をした違反反則金はどうなるのでしょうか？免許が期限切れでない時はその場で納付書をもらって、すぐに納付しなけれならないと思うのですが、もらっていません。

検察から出頭通知が届きますので、その通知にしたがって出頭をしてください。
無免許運転には過失罰規定がありませんので、運転免許証の失効を全く認識していなかった運転では無免許運転として刑事処分を受けることはありません
運転免許証の効力が有効でない場合は、交通反則通告制度の適用を受けることができませんので、質問者さんのように失効を認識してしていなかった運転と認められて、軽微な違反のみが問われた場合でも反則切符ではなく、交通切符（赤切符）の適用となります。
交通切符が交付された場合は書類のみでは済まず、検察への出頭が必要になりますので、通知に従って出頭をされて、失効を全く認識していなかった旨、違反時に警察官に話された通りにお話ください。
取締りをした警察官にもその件は認められているようですので、検察でも無免許運転については不起訴とされ、信号無視についてのみ、書面による略式命令を受けて、反則金と同額の罰金（6,000円）を納付することになるでしょう。
なお、信号無視ですから、違反点数は4点ではなく2点です。