東京の教習所で卒検を受けました。 - 本籍は埼玉なので鴻巣免許セン

東京の教習所で卒検を受けました。
本籍は埼玉なので鴻巣免許センターで学科試験を受けるのですが、東京の教習所からみたら他県の人だったので申請書を作ってくれませんでした。
この場合は朝早くから並んで申請書を書けばいいのでしょうか？
また手数料や交付料は県証紙を買えばそれが代わりになるのでしょうか？

申請書は5分も有れば書けます、証紙は試験場で売っています。
試験場に行けば案内の人がいて、判らなければ親切に教えてくれます。

申請書はすぐに書けます。
で、駅から試験場までの道沿いに、代書屋が何件かあると思います。昔は受験者が提出した書類にそのままフィルムを被せて熱で固めて免許証にしていたのだと思いますが、それを綺麗に作るために代書屋が重宝されたのだと思います。今はパソコンで全部印刷しますから、代書屋に依頼するメリットは何もないです。
証紙は県に納付するお金のための切手です。試験場では手数料ぴったりの組み合わせを用意していてくれますので、それを買って、指示された場所に貼ればｏｋです。手続きを済ませて、消印してもらえば支払い完了です。

免許は普通一種でよろしいですか?
それならこちらhttp://www.police.pref.saitama.lg.jp/kenkei/menkyo/shutoku/siteisotu/01_hutu.html
それと本籍は関係ありません
住民登録をしている(住んでいる)都道府県の免許センターです。
申請書をもらうのに朝早くから並ぶ必要はありません。
記入も簡単です。
手数料や交付料は県の証紙で支払いますが、免許センター内に「証紙売り場」があるので
そこで購入できます。

試験場に行けば案内の人がいて、判らなければ親切に教えてくれます。

運転免許試験は【本籍のある都道府県】ではなく、
【住民票のある都道府県】で受験できます。
本籍地は関係ありません。
申請書も都道府県証紙も試験場で入手できます。
少し早めに行って、間違いのないように記入してください。
あと、必ず、住民票を取り寄せておいてください。